| |
Pri tej nalogi gre za znan Zenonov paradoks.
Predstavljajmo si, da Ahil in želva tekmujeta v teku in da želva preteče v eni sekundi en meter, Ahil pa deset metrov.
Ker verjamemo, da je Ahil hitrejši, damo želvici deset metrov prednosti. Logika nam pravi, da bo Ahil želvo ujel in prehitel, kot bi mignil, mi pa lahko dokažemo, da temu ni tako.
Da bi Ahil prehitel želvo, je njegova prva naloga, da doseže točko, s katere je začela teči želva. Da bo prišel do te točke (imenujmo jo točka A), bo potreboval eno sekundo, in ko jo bo dosegel, bo želva še vedno pred njim, saj bo v tem času prepotovala en meter in bo na točki B.
Ahil mora tako sedaj priti do točke B, na kateri se nahaja želva. Ko Ahil opravi tudi to nalogo, je želva še vedno v prednosti za 0,1 metra, ki ga je prepotovala v tem času in je na tako v točki C. Ko Ahil osvoji točko C, ima želva še 0,01 metra prednosti in je na točki D.
Vidimo, da je po vsaki nalogi, ki jo opravi Ahil, želva še vedno korak pred njim.
Želvina prednost se zmanjšuje, toda izničila se ne bo nikoli, saj vemo, da je števil neskončno, kar pomeni, da jih nikoli ne zmanjka. Še huje, ne samo da Ahil želve ne bo nikoli prehitel, niti dohitel je ne bo.
Zakaj to ne drži?
spremenil: podtalje (13.1.2010 ob 00.21.26)
|
| |
| |
Mogoče zato, ker Ahil in želva nimata konstantne hitrosti?
EDIT: Aja, ne. Samo malo da razmislim 
spremenil: Erco (13.1.2010 ob 13.22.27)
|
| |
| |
Any clue? Ali sem sploh pristopil na pravo sled k rešitvi? 
|
| |
| |
Sled je na žalost napačna, ker hitrost Ahila in želve je konstantna. Hitrost Ahila je 10 m/s, medtem ko je hitrost želve 1 m/s.
Pri tej nalogi gre za to, da imamo neskončno dogodkov, ki pa se izvršijo v končnem času.
Iz filozofskega stališča bi se dalo o tem razpravljati, kako je to sploh mogoče, iz matematičnega stališča pa je ta naloga povsem rešljiva.
Če dam začetni namig, v matematiki to področje pokrivajo konvergenčne vrste.
spremenil: podtalje (14.1.2010 ob 21.34.19)
|
| |
| |
Fizika, 1. letnik gimnazije 
|
| |
| |
Ja, to pa razumem ja
To je ista fora kott tisto, če recimo imaš avtomobil, ki prepelje prvi krog, dolg 100 km/h s sto kilometri na uro, koliko more pripeljati drugi krog, da bo povprečna hitrost 200 km/h?
Jaja, dobre so tele fintice. 
|
| |
| |
Na žalost ni čisto tako, saj je naloga malo težja, kot se zdi na prvi pogled. 
Vprašanje pri tej nalogi ni, kdaj oz. pri kateri razdalji Ahil ujame želvo, saj je to res rešljivo s Fiziko iz 1. letnika srednje šole.
Če se še enkrat dobro prebere prvotno vprašanje, je tukaj glavni problem, kako je sploh mogoče, da Ahil ujame želvo.
Imamo neskončno dogodkov in po "logiki" neskončnosti ne moremo nikoli doseči.
Kako potem lahko Ahil sploh ujame želvo?
Od možnih rešitev je matematična potrditev pri tej nalogi še najlažja in kot sem dejal, to področje v matematiki pokrivajo zaporedja, konvergenčne vrste ter limite.
|
| |
| |
No, navedel sem primer ki je podoben.
Pri tej nalogi gre pa delno tudi za napačno razmišljanje kot sem razumel.
hm
|
| |
| |
Da se pomaknemo malo bližje k rešitvi.
Če začnemo od začetka, ima želva 10 m prednosti. Torej, da pride Ahil na mesto, kjer je želva, potrebuje 1 s. Vendar pa je želva v tem času premaknila naprej za 1 m.
Da Ahil pride do tega mesta, potrebuje sedaj 0,1 s.
V tem času pa se želva zopet premakne 0,1 m. Da Ahil pride na to mesto, sedaj potrebuje 0,01 s.
Tako se ti koraki nadaljujejo v neskončnost.
Če sedaj zapišemo to v forumulo, potem ta zgleda tako:
Čas t, da Ahil ujame želvo, je enak 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + ...
Oz. če formulo zapišemo malo lepše:
t = 1 + 1/10 + 1/100 + 1/1000 + 1/10000 + ...
Tako vidimo, da imamo res neskončno vrsto.
Glavno vprašanje tukaj sedaj je, ali je tudi vsota te vrste res neskončna?
|
| |
| |
Vidi se, da se vsak nadaljni člen "poveča" za desetino (kot je napisal podtalje)
t=1/10^0+1/10^1+1/10^2+1/10^3+...
Zato lahko napišemo krajšo obliko:
Suma od n=0 do neskončno (1/10)^n
Tako vrsto, pri kateri je q (v tem primeru 1/10) absolutno manjši od 1 (pogoj za konvergenco), izračunamo po formuli
t = 1/(1-q)
za konkretni primer:
t = 1/(1-1/10) = 10/9
http://tinyurl.com/izracun
Torej želvo bo dohitel pri t=10/9s
spremenil: Džeri (21.1.2010 ob 22.56.00)
|
| |
Prikazujem 1 od skupno 2 strani |
|
